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By Juan Carlos Cabello Píñar

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The Advanced Balisong Manual

E-book by means of Imada, Jeff

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F es continuo; 2. Ker(f ) es cerrado. 3. Más ejemplos. Finalmente veamos que para definir una norma cociente no es necesario tener una norma en el propio espacio. Consideremos ahora un espacio vectorial X sobre K. 1: ν(x + y) ≤ ν(x) + ν(y) (x, y ∈ X) ν(αx) = |α| ν(x) (α ∈ K, x ∈ X). Estas condiciones implican que ν(0) = 0, que |ν(x) − ν(y)| ≤ ν(x − y) para todo x, y ∈ X y que ν(x) ≥ 0 para todo x ∈ X. La única diferencia con respecto a una norma es la posible existencia de elementos x no nulos tales que ν(x) = 0.

8 (Teorema de Existencia de límites de Banach). Consideremos el espacio de Banach ∞ de las sucesiones acotadas de números reales. Existe una aplicación L : ∞ −→ R que verifica las siguientes condiciones: 1. L es lineal. 2. inf {x(n) : n ∈ N} ≤ L(x) ≤ sup{x(n) : n ∈ N}(x ∈ 3. L(x(k) ) = L(x) (x ∈ ∞, k ∞) ∈ N), donde x(k) (n) = x(n + k) (n ∈ N). Como consecuencia se tiene que L ∈ ∗ ∞ y lim infn x(n) ≤ f (x) ≤ lim supn x(n) Un funcional en ∞ (x ∈ ∞ ). verificando las condiciones anteriores se llama límite de Banach.

2 Sea X un espacio normado y f un funcional en X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes 1. f es continuo; 2. Ker(f ) es cerrado. 3. Más ejemplos. Finalmente veamos que para definir una norma cociente no es necesario tener una norma en el propio espacio. Consideremos ahora un espacio vectorial X sobre K. 1: ν(x + y) ≤ ν(x) + ν(y) (x, y ∈ X) ν(αx) = |α| ν(x) (α ∈ K, x ∈ X). Estas condiciones implican que ν(0) = 0, que |ν(x) − ν(y)| ≤ ν(x − y) para todo x, y ∈ X y que ν(x) ≥ 0 para todo x ∈ X.

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